Modelowanie
systemów
dynamicznych
1. Wprowadzenie - standardowe metody dyskretyzacji Ćwiczenie polegało na analizie standardowych metod
dyskretyzacji systemów ciągłych i porównaniu jakości rozwiązań dyskretnych w
zależności od metody i od kroku dyskretyzacji dla dowolnych układów liniowych
rzędu 1-4. Dla ciągłego równania różniczkowego Odpowiadająca mu k-krokowa metoda dyskretyzacji polega na określeniu
wartości xi+k (w
chwili [i+k]h) w funkcji kroku h i znanych wartości xi+k-1
, xi+k-2 ,.....
xi+1 , xi . Dla k=1 metoda zwana
jest jednokrokową W niniejszym ćwiczeniu wszystkie rozważane metody będą jednokrokowe
i będą miały postać: Metoda Runge-Kutty (R-K): Metoda R-K jest
l-punktową jeśli w każdej iteracji do określenia prawej strony powyższego
równania wartość funkcji F(xi, i, h) liczona jest l razy. Ogólna postać l-punktowej metody R-K dla
równania ciągłego: gdzie: W metodzie tej należy określić współczynniki l;
pj dla j=1,...,l; rj dla j=1,...,l-1.
W zależności od przyjętych współczynników otrzymujemy różne
jednokrokowe, l-punktowe metody: a) dla
l=1, p1=1 jednopunktowa metoda R-K zwana metodą
Eulera, b) dla
l=2, r1=0.5, p1=0, p2=1 dwupunktowa
R-K zwana zmodyfikowaną metodą Eulera, c)
dla l=2, r1=1, p1=p2=0.5 dwupunktowa R-K zwana
metodą Heuna, d) dla
l=4, r1= r2=0.5, r3=1, p1=p4=1/6,
p2=p3=2/3 czteropunktowa
metoda R-K, najpopularniejsza. 2. Przebieg ćwiczenia. Za pomocą programu Demetron przeanalizowaliśmy wpływ kroku
dyskretyzacji oraz stosowanej metody na jakość rozwiązań podczas całkowania
równań liniowych postaci x' = Ax+Bu
dla następujących przypadków: 1) Dla systemu niestabilnego, bez sterowania: a) metoda Eulera dla T=100, h=0.2, 0.25, 0.3, 0.4 oraz dla T=50, h=0.1, 0.2, 0.15, 0.2 WNIOSKI: Zwiększanie kroku h
powoduje destabilizację systemu i pogarszanie się jakości rozwiązania. b) metoda R-K dla T=100, h=0.2, 1, 2, 3 WNIOSKI: Metoda ta w
porównaniu do metody Eulera daje dużo lepsze rozwiązania nawet dla większych
kroków. 2) Dla systemu: metoda R-K dla T=200, h=1, 5, 10,
20 WNIOSKI: Dla kroków 1, 5, 10
rozwiązania różnią się nieznacznie. Dla h=20 widać dużą niestabilność metody 3) Dla systemu stabilnego: a) metoda Eulera dla T=100, h=0.2, 0.5, 0.8, 1 WNIOSKI: Dla h=1 metoda
niestabilna, jakość rozwiązania pogarsza się wraz ze wzrostem kroku. b) metoda Heuna dla T=100, h=0.2, 0.5, 0.8, 1 WNIOSKI: Dla wszystkich kroków
rozwiązania różnią się nieznacznie, metoda stabilna. c) metoda R-K dla T=100, h=1, 5, 7, 8 WNIOSKI: Charakterystyka
gładka dla h=1. Dla h=8 brak oscylacji. Dla pozostałych kroków charakterystyki
w kształcie łamanych. Metoda zachowuje stabilność dla wszystkich wartości h,
rozwiązania zmierzają do zera. 4) Dla systemu: a) metoda Eulera dla T=50, h=0.1, 0.2, 0.3, 0.36 WNIOSKI: Wzrost kroku
powoduje nieznaczne pogorszenie jakości rozwiązania. Dla h=0.36 metoda
niestabilna. b) metoda R-K dla T=50, h=0.3, 0.49, 0.495, 0.496 WNIOSKI: Dla kroku równego 0.495
i większego metoda niestabilna. Dla kroków 0.3 i 0.49 metoda stabilna. Wzrost
kroku powoduje nieznaczne pogorszenie jakości rozwiązania. 3. Wnioski końcowe. a) Zwiększenie
kroku całkowania zawsze powoduje pogorszenie jakości rozwiązania. b) Zmniejszenie
kroku polepsza jakość, lecz powoduje wydłużenie czasu obliczeń. c)
Dla wszystkich przypadków czteropunktowa metoda R-K miała
największy obszar stabilności, natomiast najszybciej traciła stabilność
metoda Eulera. d) Systemu
niestabilne można całkować jedynie na niewielkich odcinkach czasu. e) Najlepsze
rozwiązania otrzymaliśmy za pomocą czteropunktowej metody R-K, jednak wymaga
ona obliczania wartości w czterech punktach. Dla porównania metoda Eulera
stosuje przybliżenie liniowe (jeden punkt). |
|