Egzamin z matematyki

25 czerwca 1996

Część II – zadania.

Należy rozwiązać trzy spośród zadań 1-5.

Zadanie 1 (15 pkt.)

Dana jest funkcja:

  

 

oraz liczba całkowita a taka że |a|<5.

a)       Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0=a.

b)       Oblicz prawdopodobieństwo, że styczna ta nachylona jest do dodatniej półosi OX pod kątem ostrym i przecina oś OY w punkcie o dodatniej rzędnej.

 

Zadanie 2 (15 pkt.)

W turnieju piłkarskim, w którym każda drużyna gra z każdą drużyną jeden mecz, odbędzie się 45 spotkań.

a)       Ile drużyn bierze udział w turnieju ?

b)       Kibic pewnej drużyny wygrał bilety na dwa różne mecze. Jakie jest prawdopodobieństwo że obejrzy:

i)                     dwa mecze swojej drużyny ?

ii)                   przynajmniej jeden mecz swojej drużyny ?

 

Zadanie 3 (15 pkt.)

Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.

a)       Wyznaczyć promień podstawy stożka, wysokość stożka i jego kąt rozwarcia.

b)       Obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka.

 

Zadanie 4 (15 pkt.)

Niech A oznacza zbiór rozwiązań nierówności

.

Niech B oznacza zbiór rozwiązań nierówności

.

Wyznaczyć zbiory A È B, A Ç B, A \ B.

 

Zadanie 5 (15 pkt.)

Dana jest funkcja f(x)=ax2 –x gdzie a Î R. Rozwiązać równanie f(f(x))=0.

Dla jakich aÎR liczba (2ax0-1)2 jest całkowita dla każdego rozwiązania x0 równania f(f(x))=0 ?