Modelowanie

systemów dynamicznych

Analiza liniowych, dyskretnych systemów sterowania

Laboratorium problemowe, III rok AGH

 

1. Wprowadzenie - standardowe metody dyskretyzacji

 

Ćwiczenie polegało na analizie standardowych metod dyskretyzacji systemów ciągłych i porównaniu jakości rozwiązań dyskretnych w zależności od metody i od kroku dyskretyzacji dla dowolnych układów liniowych rzędu 1-4.

 

Dla ciągłego równania różniczkowego

 

 

Odpowiadająca mu k-krokowa metoda dyskretyzacji polega na określeniu wartości xi+k  (w chwili [i+k]h) w funkcji kroku h i znanych wartości xi+k-1 , xi+k-2 ,..... xi+1 , xi . Dla k=1 metoda zwana jest jednokrokową

 

 

W niniejszym ćwiczeniu wszystkie rozważane metody będą jednokrokowe i będą miały postać:

 

 

Metoda Runge-Kutty (R-K):

Metoda R-K jest l-punktową jeśli w każdej iteracji do określenia prawej strony powyższego równania wartość funkcji F(xi, i, h) liczona jest l razy. Ogólna postać l-punktowej metody R-K dla równania ciągłego:

 

 

 

gdzie:

 

 

 

 

 

 

W metodzie tej należy określić współczynniki l; pj dla j=1,...,l; rj dla j=1,...,l-1.

W zależności od przyjętych współczynników otrzymujemy różne jednokrokowe, l-punktowe metody:

a)    dla l=1, p1=1  jednopunktowa metoda R-K zwana metodą Eulera,

b)    dla l=2, r1=0.5, p1=0, p2=1 dwupunktowa R-K zwana zmodyfikowaną metodą Eulera,

c)     dla l=2, r1=1, p1=p2=0.5  dwupunktowa R-K zwana metodą Heuna,

d)    dla l=4, r1= r2=0.5, r3=1, p1=p4=1/6, p2=p3=2/3  czteropunktowa metoda R-K, najpopularniejsza.

 

 

 

 

2. Przebieg ćwiczenia.

 

Za pomocą programu Demetron przeanalizowaliśmy wpływ kroku dyskretyzacji oraz stosowanej metody na jakość rozwiązań podczas całkowania równań liniowych postaci x' = Ax+Bu dla następujących przypadków:

 

 

1) Dla systemu niestabilnego, bez sterowania:

 

 

a) metoda Eulera dla T=100, h=0.2, 0.25, 0.3, 0.4

oraz dla T=50, h=0.1, 0.2, 0.15, 0.2

WNIOSKI:

Zwiększanie kroku h powoduje destabilizację systemu i pogarszanie się jakości rozwiązania.

 

b) metoda R-K dla T=100, h=0.2, 1, 2, 3

WNIOSKI:

Metoda ta w porównaniu do metody Eulera daje dużo lepsze rozwiązania nawet dla większych kroków.

 

 

 

 

2) Dla systemu:

 

 

metoda R-K dla T=200, h=1, 5, 10, 20

WNIOSKI:

Dla kroków 1, 5, 10 rozwiązania różnią się nieznacznie. Dla h=20 widać dużą niestabilność metody

 

 

 

 

3) Dla systemu stabilnego:

 

 

a) metoda Eulera dla T=100, h=0.2, 0.5, 0.8, 1

WNIOSKI:

Dla h=1 metoda niestabilna, jakość rozwiązania pogarsza się wraz ze wzrostem kroku.

 

b) metoda Heuna dla T=100, h=0.2, 0.5, 0.8, 1

WNIOSKI:

Dla wszystkich kroków rozwiązania różnią się nieznacznie, metoda stabilna.

 

c) metoda R-K dla T=100, h=1, 5, 7, 8

WNIOSKI:

Charakterystyka gładka dla h=1. Dla h=8 brak oscylacji. Dla pozostałych kroków charakterystyki w kształcie łamanych. Metoda zachowuje stabilność dla wszystkich wartości h, rozwiązania zmierzają do zera.

 

 

 

 

4) Dla systemu:

 

 

a) metoda Eulera dla T=50, h=0.1, 0.2, 0.3, 0.36

WNIOSKI:

Wzrost kroku powoduje nieznaczne pogorszenie jakości rozwiązania. Dla h=0.36 metoda niestabilna.

 

b) metoda R-K dla T=50, h=0.3, 0.49, 0.495, 0.496

WNIOSKI:

Dla kroku równego 0.495 i większego metoda niestabilna. Dla kroków 0.3 i 0.49 metoda stabilna. Wzrost kroku powoduje nieznaczne pogorszenie jakości rozwiązania.

 

 

 

 

3. Wnioski końcowe.

 

a)    Zwiększenie kroku całkowania zawsze powoduje pogorszenie jakości rozwiązania.

b)    Zmniejszenie kroku polepsza jakość, lecz powoduje wydłużenie czasu obliczeń.

c)     Dla wszystkich przypadków czteropunktowa metoda R-K miała największy obszar stabilności, natomiast najszybciej traciła stabilność metoda Eulera.

d)    Systemu niestabilne można całkować jedynie na niewielkich odcinkach czasu.

e)    Najlepsze rozwiązania otrzymaliśmy za pomocą czteropunktowej metody R-K, jednak wymaga ona obliczania wartości w czterech punktach. Dla porównania metoda Eulera stosuje przybliżenie liniowe (jeden punkt).

 

 

guzik1guzik2